Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点为F，右准线与x轴的交点为D．在椭圆上一点P使得∠PFD=60°，sin∠PDF=

3

5

，则该椭圆的离心率为

3

2

．

Answer 1

分析：根据题意过点P作PH垂直于x轴，并且交x轴与点H，过点P作PE垂直于右准线，并且交右准线与点E，由题意可得：∠DPE=∠PDF．由椭圆的第二定义可得：

|PF|

|PE|

=e，再利用解三角形的有关知识可得：|PH|=

3

2

|PF|，|DE|=

3

4

|PE|，进而利用两式相等可得答案．

解答：解：根据题意过点P作PH垂直于x轴，并且交x轴与点H，过点P作PE垂直于右准线，并且交右准线与点E，如图所示：

由图象可得：∠DPE=∠PDF．
由椭圆的第二定义可得：

|PF|

|PE|

=e，
因为∠PFD=60°，
所以在△PFH中，|PH|=|PF|sin∠PFD=

3

2

|PF|，
在△PDE中，|DE|=|PE|tan∠DPE=

3

4

|PE|，
因为|PH|=|ED|，
所以

3

2

|PF|=

3

4

|PE|，
所以e=

|PF|

|PE|

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的第二定义，以及解三角形的有关知识点，此题属于基础题．