Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，cc₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
（1）证明AF⊥平面A₁ED；
（2）求平面A₁ED与平面FED所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1，分别求出AF，ED，A₁E的方向向量，根据数量积为0，两向量垂直可判断出AF与ED，A₁E均垂直，结合线面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（2）分别求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夹角公式即可求出二面角A₁-ED-F的余弦值．

解答：证明：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1，依题意得
D（0，2，0），F（1，2，0），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）
（1）易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．
（2）设平面EFD的法向量

n

=（x，y，z）
则

n • EF =0 n • ED =0

，即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1）由（1）可知，

AF

为平面A₁ED的一个法向量．
于是cos ＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n |•| AF |

=

2

3

，
所以平面A₁ED与平面FED所成的角的余弦值为

2

3

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线间的夹角、距离，直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将空间线、面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．