Question

【题目】已知函数.

（1）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数使得总成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在实数满足题意.

【解析】

（1）由得：

设，则

令，得，，列表得：

x			1		2
		-	0	+
h(x)			极小值		m-2+ln2

∴当时，的极小值为，又，

∵方程在上给有两个不相等的实数根，故

即解得：.

（2）存在，理由如下：

等价于，或

令，

则，，

①若，当时，，，所以：

当时，，，所以，所以在单调递减区间为，单调递增区间为，

又，所以，当且仅当时，，从而在上单调递增，又，所以或即.

②若，因为在递增且，

当时，，所以存在，使得，因为在单调递增，所以当时，，

在上递增，又，所以当时，，

从而在上递减，又，所以当时，，此时不恒成立；

③若，同理可得不恒成立.

综上所述，存在实数.