Question

21.已知a为实数,f（x）=（x²－4）（x－a）.

（Ⅰ）求导数f′（x）;

（Ⅱ）若f′（－1）=0,求f（x）在［－2,2］上的最大值和最小值;

（Ⅲ）若f（x）在（－∞,－2］和［2,+∞）上都是递增的,求a的取值范围.

Answer 1

21.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.

解：（Ⅰ）由原式得f（x）=x³－ax²－4x+4a,

∴f′（x）=3x²－2ax－4.

（Ⅱ）由f′（－1）=0得a=,

此时有f（x）=（x²－4）（x－）,f′（x）=3x²－x－4.

由f′（x）=0得x=或x=－1,

又f（）=－,f（－1）=,f（－2）=0,f（2）=0,

所以f（x）在［－2,2］上的最大值为,最小值为－.

（Ⅲ）解法一：f′（x）=3x²－2ax－4的图象为开口向上且过点（0,－4）的抛物线,

由条件得f′（－2）≥0,f′2.≥0,

即

∴－2≤a≤2.

所以a的取值范围为［－2,2］.

解法二：令f′（x）=0,即3x²－2ax－4=0,

由求根公式得x₁,₂=（x₁<x₂）,

所以f′（x）=3x²－2ax－4在（－∞,x₁］和［x₂,+∞）上非负.

由题设可知：当x≤－2或x≥2时,f′（x）≥0,

从而x₁≥－2,x₂≤2,

即

解不等式组得－2≤a≤2,

∴a的取值范围是［－2,2］.