Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）函数在上单调递减，在上单调递增.（3）见解析.

【解析】第一问中因为曲线在点处的切线与直线垂直，则说明了函数在x=1处的导数值为-2，利用导数的运算可参数a的值。即由，所以，

解得或. 

第二问中因为，

则单调性的判定就取决于导数的正负的解集。那么因为二次项系数的正负不定，所以分类两大类讨论即可。

第三问中，

由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，

且

构造函数借助于导数求解最值得到不等式的证明。

解：（I）的定义域为.

.

根据题意，有，所以，

解得或.                                       ……3分

（II）.

（1）当时，因为，

由得，解得；

由得，解得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，因为，

由得 ，解得；

由得，解得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.         ……9分

（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，

且.

，

令，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	0	－
		极大值

是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.

所以

.

所以，当时，成立.                    ……14分