Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出AA₁向量，平面AA₁C₁C的法向量，然后求出侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出，设出P的坐标，使DP∥平面AB₁C，即，再求出P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A（0，-1，0），B（，0，0），A₁（0，0，），
C（0，1，0），；
∴．（4分）
设平面AB₁C的法向量为n=（x，y，1）
则
解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜＞=．
而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，
即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小为．（6分）

（Ⅱ）∵，
而．
∴．（8分）
又∵B（，0，0），∴点D的坐标为D（-，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．
∴
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）为平面AB₁C的法向量，
∴由，得，∴．（11分）
又DP?平面AB₁C，
故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，），即恰好为A₁点．（12分）
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，具有探索性特点，是难度较大题目．