Question

（2012•南宁模拟）设数列{a_n}的前n项和为，已知a₁=1，Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，数列{b_n}的前项和为T_n，n∈N^*证明：T_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，得当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，两式相减得，a_n+1=2a_n+1，构造等比数列{a_n+1}并求其通项公式，再求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，利用错位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)
当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，两式相减得，
a_n+1=2a_n+1，两边加上1得出a_n+1+1=2（a_n+1），
又S₂=2S₁+1，a₁=S₁=1，∴a₂=3，a₂+1=2（a₁+1）
所以数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，首项a₁+1=2，
数列{a_n+1}的通项公式为a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1  
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴b_n=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…  +

n

2n

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+ 

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

T_n=2（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

）=2-

1

2n-1

-

n

2n

＜2．

点评：本题主要考查数列通项公式求解：利用了a_n与Sn关系以及构造法．形如a_n+1=pa_n+q递推数列，这种类型可转化为a_n+1+m=4（a_n+m）构造等比数列求解．还考查错位相消法求和．