Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）判断并证明，点F在棱DD₁上什么位置时，平面AC₁F∥平面BDE．

Answer 1

分析：（I）先利用三角形中位线定理证明OE∥AC₁，再利用线面平行的判定定理证明所证结论；
（2）先判断点F的位置为DD₁的中点，再利用线面平行的判定定理证明FC₁∥平面BDE，最后结合（I），利用面面平行的判定定理证明两面平行

解答：解：（Ⅰ）设AC∩BD=0，连OE
∵O、E为别为AC、CC₁的中点
∴OE∥AC₁
又AC₁?平面BDE，OE?平面BDE
∴AC₁∥平面BDE
（Ⅱ）点F在棱DD₁的中点时，平面AC₁F∥平面BDE．
证明：∵点F为棱DD₁中点，E为CC₁的中点．
∴DF∥C₁E 且DF=C₁E=

1

2

CC₁  
∴DFC₁E为平行四边形  
∴FC₁∥DE，FC₁?平面BDE，DE?平面BDE
∴FC₁∥平面BDE，又AC₁∥平面BDE
且FC₁∩AC₁=C₁
∴平面AC₁F∥平面BDE

点评：本题主要考查了长方体中的线面关系，线面平行的判定定理及其应用，面面平行的判定定理及其应用，第（II）问属探究型题，有一定难度