Question

已知函数f(t)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1.

(1)若t∈N^*,求f(t)的表达式;

(2)对t∈N^*,不等式f(t)≥mt恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：(1)令x=t,y=1,则条件为

f(t+1)=f(t)+f(1)+3t.

∵f(1)=1,∴f(t+1)-f(t)=1+3t.

f(t)-f(1)=(t-1)+3［1+2+3+…+（t-1）］=(t-1)+3·,结合f(1)=1.

∴f(t)=t²-t.

(2)由t²-t≥mt,对t∈N^*恒成立，即t≥1,t为整数,

∴m≤t-恒成立,

取t=1得t-的最小=1.

∴m≤1.