Question

已知函数f（x）=a1nx+bx²图象上点p（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式及单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）+m-1n4在[

1

e

，2]上恰有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意可得

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，解出即可得到函数y=f（x）的解析式；分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（2）利用导数的运算法则可得g′（x），列出表格，要满足条件，则g（x）_max＞0，g(

1

e

)≤0，g（2）≤0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=alnx+bx²，（x＞0），∴f′（x）=

a

x

+2bx，
∵函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，
∴

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，即

a+2b=2 -b-1=0

，
∴a=4，b=-1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4lnx-x²
则有f′（x）=

4

x

-2x，
令f′（x）＞0，即

4

x

-2x＞0，解得：0＜x＜

2

令f′（x）＜0，即

4

x

-2x＜0，解得：x＞

2

∴函数f（x）的单调增区间是（0，

2

）；单调减区间是（

2

，+∞）．
（2）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′(x)=

4

x

 -2x=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令g′（x）=0，解得x=

2

或-

2

（舍）．
∴当x变化时，如下表：

可得函数的大致图象：
由图象可知：要使方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，则

m-2＞0  g( 1 e  )≤0    g(2)≤0

，
即

m＞2  m≤4+2ln2+ 1 e2   m≤4-2ln2

，解得2＜m≤4-2ln2，
∴实数m的取值范围是（2，4-2ln2]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义等是解题的关键．