Question

5．已知关于x函数g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x）
（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；
（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x₀，试求[x₀]．
（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[-1.4]=-2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

分析 （I）g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx（x＞0），g′（x）=$-\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$=-$\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；
（II）f（x）=x²+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=$\frac{2{x}^{3}-ax-2}{{x}^{2}}$，令h（x）=2x³-ax-2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x²-a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x₀，且x₀也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．
（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x₀＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x₁，由题意可知：x₁即为x₀．得到$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{{f}^{′}（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+\frac{2}{{x}_{0}}-aln{x}_{0}=0}\\{2{x}_{0}^{3}-a{x}_{0}-2=0}\end{array}\right.$，消去a可得：$2ln{x}_{0}=1+\frac{3}{{x}_{0}^{3}-1}$，a＞0，令t₁（x）=2lnx（x＞1），${t}_{2}（x）=1+\frac{3}{{x}^{3}-1}（x＞0）$，分别研究单调性即可得出x₀的取值范围．

解答 解：（I）g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx（x＞0），g′（x）=$-\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$=-$\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，
（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；
（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=-$\frac{2}{a}$．
当x∈$（0，-\frac{2}{a}）$时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈$（-\frac{2}{a}，+∞）$时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
（II）f（x）=x²+g（x），其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2x+g′（x）=$\frac{2{x}^{3}-ax-2}{{x}^{2}}$，
令h（x）=2x³-ax-2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x²-a，
当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，
又h（0）=-2＜0，h（1）=-a＞0，
∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x₀，且x₀也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．
当a≥0时，h（x）=2（x³-1）-ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f（x）无极值．
综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（-∞，0）．
（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，
∴x₀＞1．
又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x₁，
且x∈（1，x₁）时，函数f（x）单调递减，x∈（x₁，+∞）时，函数f（x）单调递增，
由题意可知：x₁即为x₀．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{{f}^{′}（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+\frac{2}{{x}_{0}}-aln{x}_{0}=0}\\{2{x}_{0}^{3}-a{x}_{0}-2=0}\end{array}\right.$，消去a可得：$2ln{x}_{0}=1+\frac{3}{{x}_{0}^{3}-1}$，
a＞0，令t₁（x）=2lnx（x＞1），${t}_{2}（x）=1+\frac{3}{{x}^{3}-1}（x＞0）$，
则在区间（1，+∞）上t₁（x）单调递增，t₂（x）单调递减．
t₁（2）=2ln2＜2×0.7=$\frac{7}{5}$$＜\frac{10}{7}$=t₂（2），
t₁（3）=2ln3＞2＞$1+\frac{3}{26}$=t₂（3）．
∴2＜x₀＜3，
∴[x₀]=2．

点评 本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．