Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx，（a≠0）
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（2）若a=1，b=-2设f（x）的图象C₁与g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，M、N的横坐标是m，求证：f′（m）＜g′（m）．

Answer 1

分析：（1）h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，等价于h'（x）=0在（0，+∞）有实根，且不为重根，由此可求a的取值范围；
（2）利用分析法证明，设P（x₁，y₁） Q（x₂，y₂），且x₁＜x₂，证明f′（m）＜g′（m），只要证明

2

x1+x2

＜

x1+x2

2

-2即可．

解答：（1）解：∵函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx，（a≠0），b=2，
∴h（x）=lnx-

1

2

ax2-2x，x∈（0，+∞）
∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，
∴h'（x）=

1

x

-ax-2=0在（0，+∞）有实根，且不为重根
即ax²+2x-1=0在（0，+∞）有实根，且不为重根
∴a＞0或

a＜0 △=4+4a＞0 - 2 a ＞0 - 1 a ＞0

∴a＞0或-1＜a＜0
∴a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）证明：f'（x）=

1

x

，g'（x）=x-2
设P（x₁，y₁） Q（x₂，y₂），且x₁＜x₂
PQ中点为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），只要证明

2

x1+x2

＜

x1+x2

2

-2
又只要证明：

2(x2-x1)

x2+x1

＜

(x2+x1)(x2-x1)

2

-2(x2-x1)
只要证明：

2(x2-x1)

x2+x1

＜lnx2-lnx1
令

x2

x1

=t∈(1，+∞)，只要证明：

2(t-1)

t+1

＜lnt，t∈（1，+∞）
令F（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，则F'（t）＞0，所以F（t）在（1，+∞）范围内为增函数
又F（1）=0，所以F（t）＞0在（1，+∞）范围内恒成立；
故得证．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．