Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝BB₁＝1，直线B₁C与平面ABC成30°角，求二面角B－B₁C－A的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1(AN即为我们要找的垂线)，在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角． 　　∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB， 　　∴CA⊥B1A．AB＝BB1＝1，得AB1＝． 　　∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB＝30°，B1C＝2． 　　在Rt△B1AC中，由勾股定理，得AC＝．∴AQ＝1． 　　在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝． 　　sin∠AQN＝＝， 　　即二面角BB1CA的正弦值为．