Question

（2011•深圳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(

6

5

，0)），P（cosα，sinα），其中0＜α＜

π

2

．
（1）若 cosα=

5

6

，求证：

PA

⊥

PO

；
（2）若|

PA

|=|

PO

|，求sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）用坐标分别表示出

PA

=(

6

5

-cosa，-sina)，

PO

=（-cosa，-sina），求出它们的数量积，利用cosα=

5

6

可证．
（2）由|

PA

|=|

PO

|，可求解得cosa，进而可求 sin2a，从而问题可解．

解答：解：（1）由题设知

PA

=(

6

5

-cosa，-sina)，

PO

=（-cosa，-sina）．
所以

PA

•

PO

=(

6

5

-cosa)(-cosa)+(-sina)2=-

6

5

cosa+cos2a+sin2a=-

6

5

cosa+1．
因为cosa=

5

6

，所以

PA

•

PO

=0．故

PA

⊥

PO

．
（2）因为|

PA

|=|

PO

||，所以|

PA

|2=|

PO

|2，
即(cosa-

6

5

)2+sin2a=cos2a+sin2a．
解得cosa=

3

5

．
因为0＜a＜

π

2

，所以sina=

4

5

．
因此sin2a=2sinacosa=

24

25

，cos2a=2cos2a-1=-

7

25

．
从而sin(2a+

π

4

)=

2

2

sin2a+

2

2

cos2a=

2

2

×

24

25

+

2

2

×(-

7

25

)=

17 2

50

．

点评：本题以向量为载体，考查三角函数，考查数量积运算，考查和角的三角函数，有一定的综合性．