Question

【题目】已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直．（为自然对数的底数）．

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）首先由题可得，由此得到，再分，及讨论得出结论；

（2）所求问题等价于在上恒成立，构造函数，只需求出函数在上的最大值即可．

（1）依题意，，即，故，

由在原点处的切线与直线垂直可知，，则，

，

①当时，在上恒成立，此时函数在上单调递增；

②当时，由解得或，由解得，

此时函数在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，由解得或，解得，

此时函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）可知，，则对任意上恒成立，

，在上恒成立，

设，则，

令，则，

由解得，

易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，

，

在上单调递减，

，

，即实数的取值范围为．