Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，连接椭圆C的四个顶点得到的四边形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△ABO的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△ABO的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质、对角线相互垂直的四边形的面积计算公式即可得出；
（2）由题意可知：当且仅当∠AOB=90°时，△AOB的面积取得最大值，得出m，n满足的关系式，与m²+4n²=4联立解出即可．

解答：解：（1）由题意可得

e= c a = 3 2 1 2 ×2a×2b=4 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴S△AOB=

1

2

|OA| |OB|sin∠AOB≤

1

2

，
当且仅当∠AOB=90°时，S_△AOB有最大值

1

2

，
当∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为d=

2

2

．
由d=

2

2

?

1

m2+n2

=

2

2

?m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，联立

m2+n2=2 m2+4n2=4

解得

m2= 4 3 n2= 2 3

，此时点M(±

2 3

3

，±

6

3

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、对角线相互垂直的四边形的面积计算公式、直线与圆相交交点与原点得到三角形的面积最大问题、点到直线的距离公式等知识与方法，要求有较强的推理能力和计算能力．