题目内容
对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]的值= ．
【答案】分析：根据符号[x]的定义，逐项求出值，注意值的部分相等性，再借助于数列求和运算得出结果．
解答：解：当[log2x]=n，n∈N时，2n≤x＜2 n+1，若x是正整数，则x共有2n项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9+10．令S=2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9①则2S=22×1+23×2+24×3+24×4+…29×8+210×9②
①-②得-S=21+22+23+24+…+29-210×9=-2（1-29）-210×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案为：8204．
点评：本题是新定义，考查理解、分析，计算能力．新定义类型题目要准确理解、把握住定义的本质，转化成已有的知识和方法解决．
解答：解：当[log2x]=n，n∈N时，2n≤x＜2 n+1，若x是正整数，则x共有2n项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9+10．令S=2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9①则2S=22×1+23×2+24×3+24×4+…29×8+210×9②
①-②得-S=21+22+23+24+…+29-210×9=-2（1-29）-210×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案为：8204．
点评：本题是新定义，考查理解、分析，计算能力．新定义类型题目要准确理解、把握住定义的本质，转化成已有的知识和方法解决．
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