Question

（2006•黄浦区二模）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要条件（用a，b，c表示）；
（2）求证∠B₁AC₁为锐角；
（3）若∠ABC=60°，则∠B₁AC₁是否可能为45⁰？证明你的结论．

Answer 1

分析：分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）可得

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，令

AB1

•  

BC1

=0，可得c²-a²=0，进而得到答案．
（2）由题意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），可得

AB1

•

AC1

=c²＞0，进而得到答案．
（3）若∠ABC=60°，则b=

3

a，根据向量的数量积可得：cos∠B₁AC₁=

AB1 • AC1

| AB1 ||AC1 |

=

1

( a c )2 +1 • 3( a c )2+1

＜1，即可得到答案．

解答：解：分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为AB=a，AC=b，AA₁=c，
所以由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）由以上可得：

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，
因为AB₁⊥BC₁，
所以

AB1

•  

BC1

=0，即c²-a²=0，
所以使AB₁⊥BC₁的充要条件是c²-a²=0．
（2）由题意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），
所以

AB1

•

AC1

=c²＞0，
所以

AB1

与

AC1

的夹角为锐角，即∠B₁AC₁为锐角．
（3）若∠ABC=60°，则b=

3

a，
所以cos∠B₁AC₁=

AB1 • AC1

| AB1 ||AC1 |

=

c2

a2+c2 •  3a2+c2

=

1

( a c )2 +1 • 3( a c )2+1

＜1，
所以∠B₁AC₁可能为45⁰．

点评：本小题考查线线垂直、线线角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．