Question

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（2c-b）tanB=btanA，求角A．

Answer 1

解：由（2c-b）tanB=btanA，及正弦定理得：
（2sinC-sinB）•=sinB•，
∵sinB≠0，∴（2sinC-sinB）•=，
化简得：2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，
得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
由sinC≠0，得到cosA=，
∵A∈（0，π），
∴A=．
分析：根据正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简已知的等式（2c-b）tanB=btanA，由sinB不为0，在等式两边都除以sinB后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再由sinC不为0，两边都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数．
点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．