Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a为常数）．
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导，根据f（x）在x=-1处有极值，得到f′（-1）=0，求得a的值；
（2）根据f（x）在[-3，-2]上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，采取分离参数的方法求得a的取值范围．

解答：解：(1) f′(x)=2ax-

2

1-x

x∈(-∞，0)
f′（-1）=-2a-1
a=-

1

2

（2）f′（x）≥0在x∈[-3，-2]上恒成立
2ax-

2

1-x

≥0?1-x＞0
∴ax²-ax+1≤0在x∈[-3，-2]上恒成立，
令y=

1

-x2+x

 在∈[-3，-2]上单调递减，
∴y_min=-

1

6

．
∴a≤-

1

6

．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，恒成立问题一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，在求最值过程中，用到函数的单调性，属中档题．