题目内容
已知函数f(x)=x3-x2+
+
,且存在x0∈(0,
),使f(x0)=x0. (1)证明f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x1=0,xn+1=f(xn),y1=
,yn+1=f(yn),其中n=1,2,….
证明xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn.
证明：(1)∵f′(x)=3x2-2x+=3(x-)2+＞0,
∴f(x)是R上的单调增函数.
(2)∵0＜x0＜,即x1＜x0＜y1,又f(x)是增函数,
∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1),即x2＜x0＜y2,又x2=f(x1)=f(0)=
＞0=x1,
y2=f(y1)=f(
)=
＜
=y1.
综上,x1＜x2＜x0＜y2＜y1.
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时,上面已证明成立.
②假设当n=k(k≥1)时,有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk.
当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk),
∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.
由①②对一切n=1,2,…,都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn.
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