Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥5x；
（2）若不等式f（x）≥ax+1的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，在各段上分别解不等式f（x）≥5x，最后取其并集即可；
（2）在同一直角坐标系中分别作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

与g（x）=ax+1的图象，通过数形结合，利用直线的斜率公式即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，
∴当x＜-1时，f（x）≥5x?-3x≥5x，解得x≤0，
∴x＜-1；
当-1≤x≤

1

2

时，f（x）≥5x?2-x≥5x，解得x≤

1

3

，
∴-1≤x≤

1

3

，
当x＞

1

2

时，f（x）≥5x?3x≥5x，解得x＜0，
∴此时x∈∅；
综上所述，不等式f（x）≥5x的解集为（-∞，

1

3

]；
（2）∵g（x）=ax+1恒过定点P（0，1），
在同一直角坐标系中作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

与g（x）=ax+1的图象，

由图知，直线PB的斜率k₁=

3 2 -1

1 2 -0

=1，直线PA的斜率k₂=

3-1

-1-0

=-2；
∵不等式f（x）≥ax+1的解集为R，
∴-2≤a≤1，
即不等式f（x）≥ax+1的解集为R时，实数a的取值范围为[-2，1]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，也是难点，突出考查转化思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合应用，属于难题．