Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

分析：（1）由题意知，

c

a

=

1

2

，利用点到直线的距离公式可求b，结合a²=b²+c²可求a，即可求解
（2）由题意设直线l的方程为y=k（x-4），联立直线与椭圆方程，设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），根据方程的根与系数关系求出x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范围，然后代入

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2中即可得关于k的方程，结合k的范围可求

OA

•

OB

的范围
（3）由B，E关于x轴对称可得E（x₂，-y₂），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求

解答：（1）解：由题意知，

c

a

=

1

2

，

6

2

=b即b=

3

又a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（2分）
（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0（4分）
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则△=32²k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0
∴0≤k2＜

1

4

（6分）
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①
∴

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k2•

32k2

3+4k2

+16k2
=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

∴-4≤25-

87

4k2+3

＜

13

4

∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

）
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x₂，-y₂）
∴直线AE的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0可得x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）
∴x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2× 64k2-12 3+4k2 -4× 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆相交关系的应用，方程思想的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用．