Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

．
（1）求角A大小；
（2）若b+c=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的内角和，结合条件4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

．可得关于A的三角方程，从而可以求得A的大小；
（2）因为b+c=3，利用基本不等式，可求得bc≤

9

4

，从而可求△ABC的面积的最大值．

解答：解：（1）∵A+B+C=π
∴4cos2

A

2

-cos2(B+C)=2(1+cosA)-cos2A=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，
∴2cos2A-2cosA+

1

2

=0．    …（4分）
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=60°．           …（6分）
（2）由基本不等式得，∵b+c=3≥2

bc

，（当且仅当b=c=

3

2

，不等式等号成立）．
∴bc≤

9

4

…（10分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×

3

2

×

3

2

×

3

2

=

9 3

16

，
所以△ABC的面积的最大值为

9 3

16

．  …（14分）

点评：本题的考点是解三角形，主要考查三角形的内角和，考查二倍角公式的运用，考查三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心．