Question

设函数f(x)=x²-1+cosx（a＞0）。
（1）当a=1时，证明； 函数y=f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（2）若y=f(x)在（0，+∞）上是单调增函数，求正数a的范围；
（3）在（1）的条件下，设数列{a_n}满足：0＜a_n＜1，且a_n+1=f（a_n），求证：0＜a_n+1＜a_n＜1。

Answer 1

解：（1）当a=1时，，
恒成立，
所以，y=g(x)在（0，+∞）上是增函数，所以，
∴函数y=f(x)在（0，+∞）上是增函数。
（2）若y=f(x)在（0，+∞）上是单调增函数，则恒成立，
当时，，恒有，此时，
所以，y=f(x)在（0，+∞）上是单调增函数；
当时，，得，在上存在x₀，使得；
当时，，，
这与，恒成立矛盾，所以，。
（3）由（1）当时，；
当假设，则，
所以，，
又，
因为，，
所以，，即，
所以，。