Question

已知等差数列{a_n}的前n项的和为60，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n+1-S_n=a_n（n∈N^*），且b₁=5，求S_n及数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的公差为d，由等差数列{a_n}的前6项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项，根据等差数列的性质及前n项和公式列出关于a₁和d的方程组，求出方程组的解即可得到a₁和d的值，进而写出通项公式a_n及前n项和S_n．
（2）法1，利用累加法先求出数列{S_n}的通项公式，再求出数列{b_n}的通项公式，
法2，由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1，先求出数列{b_n}的通项公式，再求S_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则
则

6a1+15d=60 a1(a1+20d)=(a1+5d)2

解得

d=2 a1=5.

或

d=0 a1=10

∴a_n=2n+3．或a_n=10．
（2）当a_n=2n+3时，
∵S_n+1-S_n=a_n
∴当n≥2时S_n-S_n-1=a_n-1
S_n-1-S_n-2=a_n-2
…
S₃-S₂=a₂
S₂-S₁=a₁
∴S_n=S₁+a₁+a₂+…+a_n-1
=5+

[5+2(n-1)+3](n-1)

2

=n²+2n+2．
又S₁=b₁=5也适合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
∵当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，
b₁=5不适合上式，
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

当a_n=10时，数列{S_n}是以5为首项，以10为公差的等差数列，得出S_n=5+10（n-1）=10n-5
当n≥2时b_n=S_n-S_n-1=10，b₁=5不适合上式
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
另解（2）由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1
a_n=2n+3时，b_n+1=2n+3=2（n+1）+1
当n≥2时b_n=2n+1，b₁=5
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

当n≥2时，Sn=5+

[5+(2n+1)](n-1)

2

=n²+2n+2．
S₁=b₁=5也适合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
当a_n=10时，b_n+1=a_n=10，又b₁=5
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
S_n=5+10（n-1）=10n-5

点评：本题考查等差数列、等比数列的定义、性质、判定以及通项公式求解，数列求和．考查分类讨论、转化、计算等能力．