Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为

2

且过点（4，-

10

）
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出

MF1

•

MF2

=0，即可证明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．

解答：解：（Ⅰ）∵离心率e=

2

∴设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
则由点（4，-

10

）在双曲线上
知λ=4²-（-

10

）²=6
∴双曲线方程为x²-y²=6
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上
则3²-m²=6∴m²=3
由双曲线x²-y²=6知F₁（2

3

，0），F₂（-2

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=(2

3?

-3，-m)•(-2

3?

-3，-m)=m2-(2

3?

)2+9=0
∴

MF1

⊥

MF2

，故点M在以F₁F₂为直径的圆上．
（Ⅲ）S_△F1MF2=

1

2

×2C×|M|=C|M|=2

3

×

3

=6

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．