Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）（c＞0），两准线间的距离为1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过点F作直线l交双曲线上支于M、N两点，如果S_△MON=tan∠MON，求△MBN的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）依题意可分别表示出|AF|，|AB|和|BF|，进而根据三者成等差数列建立等式求得a和c的关系，进而利用两准线间的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而求得b，则双曲线的方程可得．
（II）先利用三角形面积公式表示出△MON的面积，整理求得的值，进而设出M，N的坐标表示出和，进而求得x₁x₂+y₁y₂=-7．设出直线MN的方程与双曲线的方程联立，利用判别式和方程的两根的范围求得k的范围，把y₁y₂的表达式代入上式，整理求得k，进而求得三角形MBN的面积．
解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴双曲线方程为．
（II）∵S_△MON=，
∴
整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是，，
∴x₁x₂+y₁y₂=-7．
设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．
∴消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0．
∵MN与双曲线交于上支，
∴△=（12k）²-4×9×（3k²-1）=36k²+36＞0，x₁x₂=，，
∴．
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，
代入得：，解得，满足条件．
S_△MBN==
=
=
=．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．