Question

求下列函数的值域：（1）y=-x²+x，x∈[1，3]；  （2）y=

x+1

x-1

；   （3）y=x-

1-2x

．

Answer 1

分析：（1）求y=-x²+x，x∈[1，3]的值域，对解析式进行配方，再作出判断； 
（2）y=

x+1

x-1

；用分离变量法对解析式变形，再判断其值域；
（3）求y=x-

1-2x

值域可以用换元法．

解答：解：（1）由y=-x²+x?y=

1

4

-(x-

1

2

)2，
∵1≤x≤3，
∴-6≤y≤0．
故值域是[-6，0]
（2）可采用分离变量法.y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
∵

2

x-1

≠0，
∴y≠1
∴值域为{y|y≠1且y∈R．}
（3）令u=

1-2x

（u≥0），则x=-

1

2

u2+

1

2

，y=-

1

2

u2-u+

1

2

=-

1

2

(u+1)2+1，
当u≥0时，y≤

1

2

，
∴函数y=x-

1-2x

的值域为(-∞，

1

2

]．

点评：本题考查求函数的值域，解答题本题关键是掌握住本题中所涉及的函数应采取的求值域的方法，本题中分别用了配方法，分离变量法，换元法，题后应总结一下此三种方法在解题过程中适用的范围，理解在什么情况下应该用什么样的技巧求解．