Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-

1

2

，直线x-y-2=0与抛物线相交于M，N两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（1）y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-

p

2

，故p=1．由此能求出抛物线方程．
（2）将x=y+2代入y²=2x，得y²-2y-4=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得x1x2=

(y1y2)2

4

=4，由此能导出OM⊥ON．

解答：解：（1）∵y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-

p

2

，
∴p=1．
∴抛物线方程为y²=2x．
（2）证明：将x=y+2代入y²=2x，消去x，整理，得y²-2y-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵M，N的纵坐标y₁，y₂是y²-2y-4=0的两个根，
∴y₁y₂=-4，
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得
y₁²y₂²=4x₁x₂，
∴x1x2=

(y1y2)2

4

=4，
∵

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，
∴

OM

⊥

ON

，
∴OM⊥ON．

点评：本题考查抛物线方程的求法和直线垂直的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意直线和抛物线位置关系的综合运用．