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精英家教网已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，
2
2
）
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆左顶点M（-a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求
OP
•
ON
的值．
（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若KQA+KQB=2与l的斜率无关，求t的值．
分析：（1）利用椭圆的三参数的关系列出一个方程，再将P的坐标代入得到另一个方程，解方程组求出椭圆的方程．
（2）设出N点，写出MN的方程，将MN方程与椭圆方程联立，由韦达定理表示出P的坐标，利用向量的坐标公式表示出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积．
（3）设出AB的方程，将AB方程与椭圆方程联立，由韦达定理得到A，B坐标的关系，表示出KQA+KQB，令其为2，得到方程恒成立求t值．
解答：解：（1）由题意得
a2=b2+1
1
a2
+
1
2b2
=1
解得a2=2，b2=1
故椭圆方程为
x2
2
+y2=1
（2）设N（
2
，m），P（X，Y）则MN的方程为y=
m
2
2
(x+
2
)
由
y=
d
2
2
(x+
2
)
x2
2
+y2=1
得(4+m2)x2+2
2
m2x+2m2-8=0
由韦达定理得x-
2
=
-2
2 
m2
4+m2
所以x=
4
2
-
2
m2
4+m2
代入直线方程得
P（
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
）
∴
OP
=(
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
)，
ON
=(
2
，m)
∴
OP
•
ON
=
8-2m2
4+m2
+
4m2
4+m2
=2
（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）
由
x=my+1
x2
2
+y2=1
得（m2+2）y2+2my-1=0
所以f+h=-
2m
m2+2
，fh=
-1
m2+2

kQA+kQB= 
f-t
e-2
+
h-t
g-2
=
f-t
mf-1
+
h-t
mh-1

=
2mfh-(mt+1)(f+h)+2t
m2fh-m(f+h)+1

=
-
2m
m2+2
+
(mt+1)•2m
m2+2
+ 2t
-
m2
m2+2
+ 
2m2
m2+2
+ 1
=2
∵KQA+KQB=2与l的斜率无关
∴2t=2，即t=1．
点评：本题考查利用待定系数法求椭圆方程、考查向量的坐标公式、考查向量的数量积公式、考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常采用将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理．
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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