题目内容

椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由．
分析：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．由S△ACD=S△PCD，知C为AP的中点，C(
x0-a
2
，
y0
2
)．将C点坐标代入椭圆方程，得
(x0-a)2
a2
+
y
2
0
b2
=4，由此能够推导出P(2a，
3
b)．
（2）由KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，把直线PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1?2x2-3ax+a2=0．由此入手能够导出可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为
7
2
．
解答：解：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
∵S△ACD=S△PCD，
∴C为AP的中点，∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)．
将C点坐标代入椭圆方程，得
(x0-a)2
a2
+
y
2
0
b2
=4，
又
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1?
(x0-a)2
a2
+
x
2
0
a2
=5，
∴x0=2a（x0=-a舍去），
∴y0=
3
b，
∴P(2a，
3
b)．
（2）∵KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，
直线PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1?2x2-3ax+a2=0
∴xD=
a
2
(xD=a舍去)，
∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)，即C(
a
2
，
3
2
b)
∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C1的右焦点，则
a
2
=
a2-b2
，
∴b=
3
2
a，
∴e=
a2+b2
a
=
7
2
．故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为
7
2
．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（0，-
4
5
），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|=
5
3
，求椭圆C1的方程．
（2013•三门峡模拟）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为
1
2
，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与
NF2
共线，
PF2
与
QF2
共线，且
PF2
•
MF2
=0，求四边形PMQN面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
A2
+
y2
B2
=1(A＞B＞0)和双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F1PF2=60°时，下列结论中正确的是（　　）
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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