Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)证明PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；

(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.

Answer 1

(1)证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²，知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

(2)解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1，所以EG=1,AG=,GH=AGsin60°=.

从而tanθ=,θ=30°.

(3)解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下:

因为

,所以、、共面.

又BF平面AEC，从而BF∥平面AEC.