Question

已知三角形的顶点是A（1，-1，1），B（2，1，-1），C（-1，-1，-2）．试求这个三角形的面积．

Answer 1

分析：由于S_△ABC=

1

2

|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角．只需要求出两边的长度，用向量求模公式可求，及两向量夹角的正弦，由数量积公式可求，由此三角形面积易求．

解答：解：S_△ABC=

1

2

|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角．则
S_△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|

1-cos2α

=

1

2

|

AB

||

AC

|

1-( AB • AC | AB || AC | )2

=

1

2

| AB |2•| AC |2-( AB • AC )2

．
∵

AB

=（2，1，-1）-（1，-1，1）=（1，2，-2），

AC

=（-1，-1，-2）-（1，-1，1）=（-2，0，-3），
∴|

AB

|²=1²+2²+（-2）²=9，
|

AC

|²=（-2）²+0²+（-3）²=13，

AB

•

AC

=1•（-2）+2•0+（-2）•（-3）=-2+6=4，
∴S_△ABC=

1

2

9×13-42

=

101

2

．

点评：本题考查空间向量求直线间的夹角与距离，利用向量的模求距离，求角是向量的重要运用．