题目内容
已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2*项，…按原来顺序组成一个新数列{bn}，试证明数列{bn}是等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2*项，…按原来顺序组成一个新数列{bn}，试证明数列{bn}是等比数列．
分析：（1）由等差数列的性质可得a2=4，进而可得公差，由等差数列的通项公式可得；（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式，进而可得
=2与n无关，由等比数列的定义可得．
| bn |
| bn-1 |
解答：解：（1）因为数列{an}是等差数列，
由a1+a2+a3=12可得3a2=12，即a2=4，
又a1=2，∴公差d=a2-a1=4-2=2，
所以数列{an}的通项公式为：an=2n …（4分）
（2）由（1）可得bn=a2n=2×2n=2n+1…（6分）
当n≥2时，
=2是与n无关的常数，
所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列 …（8分）
由a1+a2+a3=12可得3a2=12，即a2=4，
又a1=2，∴公差d=a2-a1=4-2=2，
所以数列{an}的通项公式为：an=2n …（4分）
（2）由（1）可得bn=a2n=2×2n=2n+1…（6分）
当n≥2时，
| bn |
| bn-1 |
所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列 …（8分）
点评：本题考查等差数列和等比数列的基本运算，涉及等比数列的判定，属基础题．
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