Question

已知函数f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）设a＞0，b=

5

3

，求证：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．结合a＞0，b=

5

3

，我们可以求出f(

π

6

)的表达式，然后利用基本不等式即可求出f(

π

6

)的值的范围，进而得到答案；
（II）将b=-2代入，我们可利用换元法，结合二次函数在定区间上的值域，及f（x）的最大值大于6构造一个关于a的不等式，分类讨论后，即可得到满足条件的a的取值范围；
（III）当t=sinx，利用换元法，我们可以将若存在x∈R，f（x）≤0，转化为存在实数使一个关于t的二次不等式成立，利用对应的二次函数的性质，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+ 5 3 -1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a 2 * 2 3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，设t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
当-

a

2

＜0时，h(a)=g(1)；当-

a

2

＞0时，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a- 3 a (a＞0) 1- 3 a (a＜0)

解得a的取值范围是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）设t=sinx，令?(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的图象的对称轴t=-

a

2

≤-1，
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，一元二次不等式的解法，其中利用换元法将已知中的函数及不等式转化为我们熟悉的二次函数及二次不等式是解答本题的关键．