题目内容

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=2ⁿa_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

解：（1）设等差数列{a_n}，公差为d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴ $\text{[math]}$ 解得a₁=3，d=2
∵ $\text{[math]}$
∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ =2ⁿ（2n+1）
∴ $\text{[math]}$
2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+ $\text{[math]}$
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
$\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）根据已知，利用基本量a₁，d表示，求出等差数列的首项和公差，进而可求通项及前n项和
（Ⅱ）先写出b_n通项公式，可以看出数列{b_n}是由等差数列和等比数列的积构成，因此采取错位相减求和．
点评：本题考查等差数列的通项公式以及数列求和的方法，对于数列求和的方法要根据数列的特点采取不同求和方法，像本题中数列{b_n}是由等差数列和等比数列的积构成，因此采取错位相减的求和方法．