题目内容

已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0， $数学公式$ ），且过点 $数学公式$ ，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．

解：（1）由题意可知c= $\text{[math]}$ ，由椭圆的定义求出a=2，所以b= $\text{[math]}$ ，所以椭圆的方程为： $\text{[math]}$
（2）由题意得设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k
所以 $\text{[math]}$ 代入得 $\text{[math]}$ ，
又∵x₁=1∴ $\text{[math]}$
同理 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为定值
（3）设BC方程为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ A到BC的距离为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
当m²=8-m²时，即m²=4时“=”成立，此时△＞0成立．
分析：（1）由题意得c= $\text{[math]}$ ，再由由椭圆的定义求出a=2，b= $\text{[math]}$ ，从而得到椭圆的方程．
（2）设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，写出AB的方程与椭圆联立求出B，C坐标得到SC的斜率化简即可
证明直线BC的斜率为定值．
（3）利用弦长公式求出BC 的长，利用得到直线的距离公式求出A到BC的距离，即可求三角形ABC的面积最大值．
点评：本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，三角形面积求法，最大值的求法，考查计算能力，转化思想．