Question

已知函数f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）证明f（x）为奇函数        
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）先求得函数定义域，然后利用奇函数的定义即可证明；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，根据单调性的定义可作出判断；

解答：（1）证明：由题意知f（x）的定义域为R，
又f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x 3x

1+3x 3x

=

1-3x

1+3x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）解：f（x）在定义域上是单调增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

3x2-1

3x2+1

-

3x1-1

3x1+1

=（1-

2

3x2+1

）-（1-

2

3x1+1

）
=

2(3x2-3x1)

(3x2+1)(3x1+1)

，
∵x₁0，3x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为R上的单调增函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．