Question

【题目】已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；

（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.

（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,

因为线段AB的中点是,

设,则,且,

又,作差可得,

则,得

又,

所以,

因此椭圆的方程为.

（2）由（1）联立,解得或,

不妨令,易知直线l的斜率存在,

设直线,代入,得,

解得或,

设,则,

则,

因为到直线的距离分别是,

由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,

所以,

四边形的面积,

令,,则,

所以,

当,即时,，

因此四边形面积的最大值为.