Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是

 

．

Answer 1

分析：说明点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心，三棱锥S-ABC为正三棱锥，记SO=h（h＜a），求出AO，AB，表示出f（h），通过导数求出函数的最大值．

解答：解：∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=

a2-h2

，
于是有：AB=

3(a2-h2)

，记三棱锥S-ABC体积为f（h），
则f（h）=

3

4

(a2-h2)h，f^/（h）=

3

4

(a2-3h2)，
∴f_max（h）=f(

3

3

a)=

a3

6

．
故答案为：

a3

6

点评：本题是中档题，考查立体几何与函数的导数的交汇题目，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．