Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n,)在直线y=x+上.数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0(n∈N^*)，b₃=11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式；

(2)设c_n=,数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值.

Answer 1

解:(1)由已知得=n+,∴S_n=n²+n.

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=n²+n(n-1)²-(n-1)=n+5;

当n=1时，a₁=S₁=6也符合上式.∴a_n=n+5.

由b_n+2-2b_n+1+b_n=0(n∈N^*)知{b_n}是等差数列,

由{b_n}的前9项和为153，可得=153,求得b₅=17,又b₃=11,

∴{b_n}的公差d==3.∴b_n=3n+2.

(2)c_n==(),

∴T_n=(1++…+)=(2).

∵n增大，T_n增大,∴{T_n}是递增数列.∴T_n≥T₁=.

T_n＞对一切n∈N^*都成立,只要T₁=＞,

∴k＜19,则k_max=18.