Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n+a_n=

n2+3n+5

2

．
（1）证明：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）设b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由题意知当n=1时，2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

，n≥2时a_n=S_n-S_n-1，得2a_n-a_n-1=n+1，即可证明结论；
（2）先由（1）求得数列{b_n}的通项公式并整理成b_n=

n2+n

2

，从而

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，然后利用列项求和求出Tn=2（1-

1

n+1

），求出数列{b_n}的前n项和 T_n＜2．

解答：证明：（1）当n=1时，
2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

当n≥2时，S_n+a_n=

n2+3n+5

2

    ①
S_n-1+a_n-1=

(n-1)2+3(n-1)+5

2

   ②
①-②得2a_n-a_n-1=n+1
∴2a_n=a_n-1+（n+1）
即2a_n-2n=a_n-1-（n-1），2（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
即

an-n

an-1- (n-1)

=

1

2

∴数列数列{a_n-n}是以

5

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）得a_n-n=

5

4

•(

1

2

)n-1
∴a_n=n+

5

4

•(

1

2

)n-1
∴S_n=

n2+3n+5

2

-n-

5

2n+1

=

n2+n+5

2

-

5

2n+1

∴b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

=

n2+n

2

∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

- 

1

n+1

 )
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）

=2（1-

1

n+1

）＜2．

点评：本题考查了等比数列的判定，此题采取裂项的方法求和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于难题．