题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
3
时，求实数t的取值范围．
分析：（1）利用离心率求得a和c关系，进而利用椭圆方程中a，b和c的关系求得a和b的关系，最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b，则a可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出A，B，P的坐标和AB的直线方程与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用
OA
+
OB
=t
OP
求得k和t的关系，把点P坐标代入椭圆的方程，利用|
PA
-
PB
|＜
3
求得k的范围，进而利用k和t的关系求得t的范围．
解答：解：（1）由已知e=
c
a
=
3
2
，所以
c2
a2
=
3
4
，
所以a2=4b2，c2=3b2所以
x2
4b2
+
y2
b2
=1
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
2b2
a
=1
所以b=1
所以
x2
4
+y2=1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
设AB：y=k（x-3）与椭圆联立得
y=k(x-3)
x2
4
+y2=1

整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0得k2＜
1
5
x1+x2=
24k2
1+4k2
，x1•x2=
36k2-4
1+4k2

OA
+
OB
=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)x=
1
t
(x1+x2)=
24k2
t(1+4k2)
y=
1
t
(y1+y2)=
1
t
[k(x1+x2)-6k]=
-6k
t(1+4k2)

由点P在椭圆上得
(24k2)2
t2(1+4k2)2
+
144k2
t2(1+4k2)2
=4，36k2=t2（1+4k2）
又由|
PA
-
PB
|＜
3
，即|BA|＜
3

所以|AB|=
1+k2
|x1-x2|＜
3

所以（1+k2）（x1-x2）2＜3（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜3（1+k2）[
242k4
(1+4k2)2
-
4(36k2-4)
1+4k2
]＜3
整理得：（8k2-1）（16k2+13）＞0
所以8k2-1＞0，k2＞
1
8

所以
1
8
＜k2＜
1
5

由36k2=t2（1+4k2）得t2=
36k2
1+4k2
=9-
9
1+4k2

所以3＜t2＜4，所以-2＜t＜-
3
或
3
＜t＜2．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网