Question

为了求函数y=x²，函数x=1，x轴围成的曲边三角形的面积S，古人想出了两种方案求其近似解（如图）：第一次将区间[0，1]二等分，求出阴影部分矩形面积，记为S₂；第二次将区间[0，1]三等分，求出阴影部分矩形面积，记为S₃；第三次将区间[0，1]四等分，求出S₄…依此类推，记图1中S_n=a_n，图2中S_n=b_n，其中n≥2．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求a_n的通项公式，并证明an＞

1

3

；
（3）求b_n的通项公式，类比第②步，猜想b_n的取值范围．并由此推出S的值（只需直接写出b_n的范围与S的值，无须证明）．
参考公式：12+22+32+…+(n-1)2+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)．

Answer 1

分析：（1）利用题设条件，根据矩形面积公式，能够求出a₂，a₃，a₄．
（2）仔细观察a₂，a₃，a₄的表示式，能够得到a_n．再由an=

1

6n2

(n+1)(2n+1)＞

1

6n2

×n×2n=

1

3

，能够证明证明an＞

1

3

．
（3）bn=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2]=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2]=

1

6n3

（n-1）（n-1+1）（2n-2+1），由此能够推导出b_n的取值范围．并由此推出S的值．

解答：解：（1）a2=

1

2

[(

1

2

)2+12]=

5

8

，
a3=

1

3

[(

1

3

)2+(

2

3

)2+12]=

14

27

，
a₄=

1

4

[(

1

4

)2+(

2

4

)2+(

3

4

)2+(

4

4

)2]=

15

32

．
（2）a_n=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2+(

n

n

)2]
=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2+n2]=

1

6n2

(n+1)(2n+1)．…（7分）
an=

1

6n2

(n+1)(2n+1)＞

1

6n2

×n×2n=

1

3

…（9分）
（3）bn=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2]=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2]
=

1

6n3

（n-1）（n-1+1）（2n-2+1）
=

1

6n2

（n-1）（2n-1）＜

1

3

，
∴S=

1

3

．

点评：本题考查曲边三角形面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意类比推理的合理运用．