Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x∈（-∞，1]，不等式f（x）≤4e恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x=（x-a）[x-（a-2）]e^x．令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=．由此能求出f（x）的单调递区间．
（2）由（Ⅰ）得[f（x）]_极大=f（a-2）=4e^a-2．当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），得-1≤a≤1；当1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）=4e^a-2≤4e³-2=4e；当a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．由此能求出a的取值范围．
（III）由f′（x）=x（x-2）e^x，，知²，令g（x）=²，
从而问题转化为证明当2＜t＜6时，函数²在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，由此能够证明当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．
解答：解：（1）f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x，
=（x-a）[x-（a-2）]e^x．…2分
令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），
单调递减区间是（a-2，a）．…6分
（2）由（Ⅰ）得[f（x）]_极大=f（a-2）=4e^a-2．
①当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），
由，f（1）=（a-1）•2e≤4e，解得-1≤a≤1；
②当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），
此时f（a-2）=4e^a-2≤4e³-2=4e；
③当a-2＞1，即a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．
综上，a的取值范围是[-1，3]．…12分
（III）∵f′（x）=x（x-2）e^x，，
∴²，
令g（x）=²，
从而问题转化为证明当2＜t＜6时，
函数²在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，
∵g（-2）＞0，g（t）＞0，g（0）＜0，
∴g（x）=0在[-2，t]上有解，且有两解．
所以，当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．（15分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．