Question

【题目】已知为实常数，函数.

（1）求函数的最值；

（2）设.

(i)讨论函数的单调性；

（ⅱ） 若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)最大值为，无最小值；(2)(i)答案见解析；(ii) .

【解析】试题分析：

（1）由函数的解析式可得 ，结合函数的定义域可知函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为，无最小值.

（2）（i）由题意可得， .分类讨论：

①当时， 在上是增函数；

②当时，函数在是增函数，在是减函数.

（ⅱ）由（i）知，当不合题意；

当时， ，解得.结合题意构造新函数，由函数的性质讨论可得的取值范围是.

试题解析：

（1）函数的定义域是.

令，得；令，得；

故函数在上单调递增，在上单调递减.

故函数的最大值为，无最小值.

（2）（i），

函数的定义域为，其导数.

①当时， ，函数在上是增函数；

②当时，在区间上， ；在区间上， .

所以函数在是增函数，在是减函数.

（ⅱ）由（i）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点；

当时， 在时增函数，在是减函数，此时为函数的最大值,

若，则最多有一个零点，不合题意，

所以，解得.

此时，且 ，

.

令，则 .

所以在上单调递增.

所以，即.

故函数有两个不同的零点， ，且， .

综上， 的取值范围是.