Question

已知函数f（x）=2^x，f^-1（x）是f（x）的反函数，若f（m）f（n）=16（m，n∈R⁺），则f^-1（m）+f^-1（n）的最大值为（　　）

A．-2

B．1

C．2

D．10

Answer 1

分析：求出反函数f^-1（x）的解析式，由f（m）f（n）=16，可得m+n=4，进而根据对数函数的运算性，利用基本不等式，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=2^x，∴f^-1（x）=log₂x
∵f（m）f（n）=16，∴2^m×2ⁿ=16，∴m+n=4
∵m，n∈R⁺，∴mn≤(

m+n

2

)2=4
∴f^-1（m）+f^-1（n）=log₂m+log₂n=log₂（mn）≤log₂4=2
∴当且仅当m=n=2时，f^-1（m）+f^-1（n）的最大值为2，
故选C．

点评：本题考查的知识点是反函数，对数函数的运算性质，其中根据已知条件，求出反函数f^-1（x）的解析式是解答本题的关键．