Question

设函数f(x)＝－x³＋x²＋(a²－1)x，其中a>0.

(1)若函数y＝f(x)在x＝－1处取得极值，求a的值；

(2)已知函数f(x)有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁<x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)>f(1)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝－x²＋2x＋(a²－1)，

因为y＝f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝0.

即－(－1)²＋2(－1)＋(a²－1)＝0.

解得a＝±2.经检验得a＝2.

(2)由题意得f(x)＝x(－x²＋x＋a²－1)＝－x(x－x₁)(x－x₂)．

所以方程－x²＋x＋a²－1＝0有两个相异的实根x₁，x₂.

故Δ＝1＋(a²－1)>0，解得a<－(舍去)或a>

且x₁＋x₂＝3.

又因为x₁<x₂，所以2x₂>x₁＋x₂＝3，故x₂>>1.

①若x₁≤1<x₂，则f(1)＝－(1－x₁)(1－x₂)≥0，而f(x₁)＝0不符合题意．

②若1<x₁<x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，有x－x₁≥0，x－x₂≤0，

所以f(x)＝－x(x－x₁)(x－x₂)≥0.

又f(x₁)＝0，所以f(x)在[x₁，x₂]上的最小值为0.

于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a²－<0，解得－<a<.

综上得<a<，即a的取值范围为(，)．