Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，可得f'（1）=f'（-1）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；
（2）由题意知，点A不在曲线上，故设出切点为M（x₀，y₀），根据切点在曲线y=f（x）上和导数的几何意义建立等量关系，推出2x₀³-3x₀²+m+3=0，由题意知，该方程有3个解，故将问题转化为g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极大值和极小值异号的问题，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x．（4分）
（2）f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x³-3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
∵f'（x₀）=3（x₀²-1），
∴切线的斜率为3(

x

2 0

-1)=

x 3 0 -3x0-m

x0-1

，
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．（8分）
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根．
设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，
则g'（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g'（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．（12分）
∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1．
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，
即（m+3）（m+2）＜0，解得-3＜m＜-2．
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的极值和最值等知识，难度较大．